5.1. Introducción
5.2. El pentágono, la escuela pitagórica y el número de oro
5.3. El dodecaedro
5.4. El pentágono y el dodecaedro en la pintura
5.5. El pentágono y el dodecaedro en la escultura
5.6. El pentágono y el dodecaedro en la arquitectura
5.7. El pentágono y el dodecaedro en las plantas
5.8. El pentágono y el dodecaedro en los animales




5.1. Introducción

En este apartado, hablaremos sobre el pentágono y el dodecaedro, conoceremos su presencia en la naturaleza, tanto de forma natural como su utilización por parte del hombre en diversos campos (escultura, arquitectura...)


5.2. El pentágono, la escuela pitagórica y el número de oro

La escuela pitagórica fue una escuela de filosofía, matemáticas y ciencias naturales fundada por Pitágoras en Crotona, al sur de Italia, hacia el año 530 a.C.


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Pitágoras

A Pitágoras y sus seguidores les interesaba especialmente el número cinco, de ahí su interés por el pentágono y que el símbolo de su escuela fuese una estrella de cinco puntas (pentágono regular estrellado) denominada por ellos “salud”. Esta estrella recibe también el nombre de pentagrama.



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Símbolo de la escuela pitagórica

Dicho pentagrama está relacionado con el ser humano, y constituye un símbolo sagrado que ha sido utilizado en multitud de ocasiones a lo largo de la historia, y no sólo por los pitagóricos.
En los tiempos Medievales, algunos caballeros Cristianos usaban el pentagrama como su símbolo
Las cinco puntas corresponden a los elementos de Aire, Tierra, Fuego y Agua, con la de arriba correspondiendo a Espíritu. El pentagrama en un círculo también puede representar a un humano con sus manos y piernas estiradas, rodeado por la sabiduría universal.


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En el pentágono, los pitagóricos encontraron el llamado número áureo, proporción áurea o número de oro (F), del que ya hemos hablado con anterioridad.
Este número refleja la relación entre un lado del pentágono y su diagonal. Esta relación nos da exactamente dicho número de oro.

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d/l=F


Si se conectan todas las diagonales se formará un pentágono interno cuyos elementos están también en relación áurea con el pentágono inicial.

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Este proceso se vuelve infinito hacia el centro de la estrella, como podemos observar en la siguiente figura:

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Podemos observar que, al conectar todas las diagonales, se forma también una estrella interna. Es el pentagrama de los pitagóricos, del que hemos hablado en la página anterior.
Siendo la estrella de cinco puntas una visión interna del pentágono, cada uno de los brazos de esta forman un ángulo de 72º con el siguiente (72x5 =360º). Esta es la distancia que, en espiral, guardan los brotes que van surgiendo en torno al joven tallo de muchas plantas.

Resulta curioso observar como estas proporciones matemáticas se dan con frecuencia en el entorno que nos rodea.
Ya en el siglo V a.C. Pitágoras consideraba que el universo está conformado en su esencia por números.



5.3. El dodecaedro
El pentágono es la base para construir el cuerpo sólido perfecto, el dodecaedro.
El dodecaedro es un poliedro regular convexo, cuyas caras están formadas por pentágonos, como podemos apreciar en la imagen.

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La construcción del dodecaedro es atribuída a los pitagóricos. Platón presenta los poliedros regulares en su obra "El Timeo", donde asigna al dodecaedro la representación del "Todo", la Quintaesencia.
Euclides construirá un dodecaedro inscrito en una circunferencia.
Pero para conocer más acerca del dodecaedro debemos de avanzar hasta el Renacimiento. Nos encontramos aquí con la figura
del geómetra y matemático Fra Luca Pacioli, el cual defendió la aplicación de la geometría a la producción artística de su tiempo.
También podríamos hablar del pentágono en la obra de Pacioli, pero el dodecaedro tiene una especial relevancia.
Prueba de la especial relación entre Fra Luca Pacioli y el dodecaedro es el cuadro de Jacopo Peri, en el que aparece Pacioli explicando uno de los trazados geométricos de los elementos de Euclides. Se puede observar en la esquina inferior derecha un dodecaedro de mármol blanco.


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Casi un siglo más tarde el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630) encuentra en los poliedros regulares una explicación a las órbitas de los planetas alrededor del Sol, ubicando unos dentro de otros. En esta estructura del universo presentada en su obra Mysterium cosmographicum ubica al dodecaedro entre las órbitas de la Tierra y Marte.

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Durante el s. XX, son muchos los campos de la naturaleza y la Ciencia en los que se investiga y se busca la relación que tienen con la geometría del dodecaedro y la relación áurea. Asídestacamos las estructuras de diversos elementos de cubrición, estructuras de animales marinos,compuestos moleculares, cadena de ADN, etc...




5.4. El pentágono y el dodecaedro en la pintura

La geometría constituye la base de la obra pictórica.
Así, los elementos se ordenan en función del círculo, óvalo, triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono, rombo, octógono... algunas veces de forma individual y en otras utilizando varias de estas figuras.
El pentágono es una de las figuras más queridas dentro de este arte.
Multitud de pintores dedicaron parte de su obra a investigar sobre estos elementos.
Podemos citar el caso de los pintores Wassily Kandinsky y Johannes Itten, que estudiaron a fondo la relación entre la forma y el color, creyendo que ambos tienen el poder de provocar vibraciones que enriquecen el alma.
En el siguiente gráfico, observamos la estrella cromática de Goethe, en la cual se establece dicha relación entre color y forma.

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De este modo, al pentágono le correspondería el color naranja.



Muchos pintores renacentistas utilizaron la proporción áurea, expresada en forma de pentágono, para establecer un orden simétrico en sus composiciones.
Es el caso de la Gioconda de Leonardo Da Vinci. Al analizar la posición de los tres puntos importantes (el ojo, el núcleo del vórtice y su simétrico) nos damos cuenta de que se encuentran en relación áurea.

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Los puntos A, B y C son tres de los vértices que forman el pentágono ( y su pentagrama) oculto en la trama secreta del cuadro.

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Otro ejemplo del pentágono dentro de la obra de Leonardo Da Vinci podemos encontrarlo en su famoso hombre de Vitruvio.
En él, Da Vinci hace un riguroso estudio sobre las proporciones perfectas en la anatomía del cuerpo humano.
Podemos observar diversos pentágonos. Uno de ellos queda situado en el centro del dibujo, dando lugar a una estrella de cinco puntas que se forma al unir las diagonales de dicho pentágono.

En cuanto al dodecaedro, podemos encontrarlo también en numerosas pinturas. Prueba de ello es "el sacramento de la última cena", de Salvador Dalí, donde observamos un ventanal en forma de dodecaedro tras los comensales de la última cena.

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5.5. El pentágono y el dodecaedro en la escultura

Podemos encontrar también algunos ejemplos de pentágonos y dodecaedro en la escultura.


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Escultura de Buckminsterfulereno C60 en Sussex



5.6. El pentágono y el dodecaedro en la arquitectura

Uno de los autores que más han investigado sobre la investigación de formas geométricas en la arquitectura es P.H. Scholfiel, que en su “teoría de la proporción en arquitectura” desarrolla las formas pentagonales y octogonales.

Pero la utilización de la geometría en la arquitectura es algo muy antiguo. Una de las formas geométricas más empleadas es sin duda el pentagrama o pentalfa, estrella de cinco puntas que surge al unir las diagonales del pentágono (ver aptdo. 5.2.)

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El profesor Santiago Sebastián, especialista en iconografía y simbología, señala al referirse a la importancia de la geometría en los templos románicos, que la “más importante como figura clave fue el pentágono, que poseía la llave de la geometría y de la sección áurea e incluso poseyó poderes mágicos”.

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Uno de los ejemplos en los que aparece la misteriosa figura es San Bartolomé de Ucero, en Soria.

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5.7. El pentágono y el dodecaedro en las plantas

Las plantas más evolucionadas son las angiospermas (son aquellas que presentan los óvulos encerrados dentro de un ovario, que madura luego para dar un fruto). En su gran variedad encontramos un claro predominio de la simetría pentagonal. Las flores son una especificidad de las hojas de plantas primitivas que abren formando una espiral logarítmica.

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Kepler fue quien observó la frecuencia del número 5 en las plantas. A este estudio de las reglas que rigen la filotaxis de cada planta (la filotaxis es la disposición que presentan las hojas en el tallo) se la conoce como "filotaxis matemática", y comenzó con Schimper y Braun a mitad del siglo XIX.
Actualmente la filotaxis ha adquirido una gran relevancia debido a la aportación conjunta debotánicos y matemáticos, quienes complementan sus investigaciones.

Las flores se presentan en una enorme cantidad de formas y colores, pero si hacemos una estadística de ellas veremos que en su mayoría inician su expansión en la misma geometría pentagonal que, si no se observa en los pétalos, se presenta en los sépalos que las sostienen.

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En frutos de origen tan variado, como por ejemplo la piña de conífera, el ananá del cardo o la banana del plátano, expanden de un pentágono; cíclicamente surgen las hojas del centro hacia afuera formando grupos de 5.

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5.8. El pentágono y el dodecaedro en los animales.

A simple vista, parece que no encontramos en la naturaleza demasiados ejemplos de simetría pentagonal, a excepción de los equinodermos (erizos, estrellas de mar...).
Su simetría pasa a ser pentarradial cuando alcanzan el estado adulto.

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Sin embargo, esta estructura está presente en todos los animales. El hecho de que no podamos apreciarla a simple vista se debe a que se encuentra dentro de nuestra estructura interna, concretamente en el ADN.
El ADN se compone por largas cadenas de unidades llamadas mononucleótidos.
Estos se componen a su vez de:
- Un azúcar de cinco átomos de C (pentosa) de estructura cíclica pentagonal.
- Molécula de ácido fosfórico.
- Base nitrogenada.

La pentosa puede ser de 2 clases: ribosa (ARN) o desoxirribosa (ADN).


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Curiosamente, el pentágono no se encuentra sólo en nuestro entorno, sino dentro de nosotros mismos.





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