3.1. Introducción
3.2. Triángulos, pirámides y conos en la pintura
3.3. Triángulos, pirámides y conos en la escultura
3.4. Triángulos, pirámides y conos en la arquitectura
3.5. Sistema mero
3.6. Triángulos, pirámides y conos en la fruta
3.7. Triángulos, pirámides y conos en la fauna
3.8. Triángulos, pirámides y conos en los minerales y rocas
3.9. Triángulos, pirámides y cono en la flora
3.10. Triángulos, pirámides y conos en las armas
3.11. Triángulos, pirámides y conos en la ciencia





3.1. Introducción
Pirámides
La pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y por caras laterales triángulos con vértice común.

Conos
El cono es el cuerpo de revolución que se obtiene al girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos.

Triángulos
Los triángulos son polígonos de tres lados.
Las propiedades fundamentales del triángulo son:
1) La suma de sus ángulos interiores es 180º.
2) La suma de sus ángulos exteriores es 360º.
3) Cada ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.
Los triángulos se clasifican:
Según sus lados en:
Equilateros: Tienen sus tres lados iguales.
Isósceles: Tienen dos lados iguales.
Escalenos: Tienen sus tres lados desiguales.
Según sus ángulos en:
Acutángulos: Tienen todos sus ángulos agudos.
Rectángulos. Tienen un ángulo recto.
Obstusángulos: Tienen un ángulo obstuso.
external image fig_13.gif




3.2. triángulos, pirámides y conos en la pintura
Los grandes pintores utilizaron las figuras geométricas para organizar sus cuadros y ordenar a los personajes. A continuación veremos unos ejemplos.

external image pintura1.jpg

"Cristo Resucitado" de Raphael


external image pintura2.JPG



Botticelli. (1483-85). El Nacimiento de Venus. Galería Uffizi, Florencia Italia
En esta obra Botticelli utiliza la segunda de las relaciones características de Albeti. el doble diatesarón, 9/12/16. Venus sigue la línea oblicua de las cesuras 9 tomadas de arriba de izquierda a derecha. Las líneas que sirven de apoyo a los Vientos y a la Ninfa forman los lados de un triángulo cuya altura es la oblicua de Venus. La posición desequilibrada de este triángulo acentúa el movimiento de traslación.



external image pintura3.JPG

"Primavera" de Boticelli


external image pintura4.jpg



Caravaggio. Entierro de cristo, 1602-04. Museo del Vaticano.
A partir del vértice superior derecho, un movimiento basculante parece desplazar a los personajes hacia el ángulo inferior izquierdo; éste es un cuadro de la religión de las desdichas. La relación dinámica "A" que, como sabemos, agrupa a las oblicuas en amplios haces a lo largo de la diagonal, sirve como trama a esta composición. 4/6/9.




external image pintura5.jpg



Ghirandaio. Adoración de los Magos. Galería Uffizi, Florencia Italia
Entre las figuras geométricas regulares el círculo es una de las más perfectas. Ghirandaio inscribe en el círculo dos cuadros; por otra parte, el centro está netamente marcado por el grupo de la Virgen y el Niño e incluso por la propia mano de Niño Jesús.



external image pintura6.JPG



Leonardo Da Vinci. La última cena. Milán, Sta. Ma. Delle Grazie.
En el cuadrado central, acostado por dos medios cuadros, está dividido en seis, en sus dos dimensiones, por el cruce de sus diagonales. Así se forman dos nuevos cuadros inscritos uno en el otro; el central, más pequeño y limitado por los lados de las ventanas y el borde superior de la mesa, rodea la figura de cristo; a su alrededor, el cuadro de en medio delimita el muro del fondo. La altura de los paneles laterales viene dada por las diagonales del rectángulo. Diapasón, doble cuadrado.



external image pintura7.jpg



Rafael(1518-29). La Transfiguración. Museo del Vaticano
Composición sobre círculos. El círculo mayor, tangente abajo a los límites del cuadrado, se inscriben un cuadrado que forman un octágono cuyas diagonales distribuyen los personajes de la parte inferior. Por encima vemos dos círculos más pequeños, cuyo diámetro es igual al lado de los cuadrados inscritos; el círculo menor superior es tangente al límite superior del cuadrado, el segundo esta centrado sobre el lado superior del cuadrado horizontal. Cada personaje a pesar del desahogo de sus gestos se sitúa en un rigor perfecto dentro del la geometría.



Otros pintores utilizan las mismas figuras geométricas pero como motivos artísticos en sí mismos.


Los triángulos son el símbolo de Tamarán external image tn_tamaran-benahore.jpg

"Pirámides" external image cuadro4-2.jpg

Los conos representan los tonos de la creación external image amuletcones.jpg

Dentro de la pintura existe una corriente nacida en el siglo XX que posee una característica particular:
Geometrismo: Los formas geométricas invaden las composiciones. Las formas observadas en la naturaleza, son traducidas en cilindros, conos, esferas y cubos. La retina capta las formas y la mente del pintor las simplifica. Cézanne ya redujo sus composiciones a las formas geométricas, por eso ejercerá tanta influencia en el Cubismo.

"Arlequín" de Picasso external image 3145_a.jpg

3.3.triángulos, pirámides y conos en la escultura

También en la escultura encontramos ejemplos de figuras geométricas, en este caso triángulos y pirámides.

Escultura papirofléxica a partir de la forma curva del paraboloide hiperbólico external image paraboloide%2520ok.jpg

Barcos; las velas tienen forma de triángulos external image work0311.jpg

Pirámide humana external image 27953.jpg Este es un ejemplo de "escultura" humana típica de las tradiciones populares de algunos pueblos.

conos de seguridad (al fin y al cabo son esculturas) external image cono.jpg Este sin embargo es un ejemplo de un objeto cotidiano.

escultura de tres picos external image escultura_aviles.jpg

3.4. triángulos, pirámides y conos en la arquitectura

En arquitectura se encuentran muchos ejemplos de figuras geométricas. Algunos de esos ejemplos:

external image piramides.jpg La primera edificación que nos viene a la mente cuando hablamos de pirámides, son las famosas Pirámides de Egipto, creadas por el hombre hace miles de años.

Otros ejemplos de pirámides:

pirámide en Kazajistán external image foster_asia.jpg

external image forum.jpg Edificio del Fórum de Barcelona

Chichen Itzá en la península del Yucatánexternal image bim007.jpg

external image fot5.jpg pirámides y conos en Camboya

external image ceres2.jpg


triángulos áureos







external image 102.gifUna esfera hecha a base de triángulos equiláteros compone la cúpula geodésica para esta casa cerca de Los Ángeles

external image piramides-del-louvre.jpg pirámide del Louvre Pirámide del Louvre external image 31-1.jpg

hotel park royal en Cancún



external image catedral2.JPG triángulo en la cornisa de muchos edificios de estilo griego

La arquitectura de Gaudí no está plagada de la geometría euclidiana, sino que, por el contrario, la geometría que emplea es reglada, como lo son la mayoría de las formas que se desarrollan en la naturaleza: espirales, conos, parábolas, etcéteraexternal image intro_balto016.jpg

3.5. sistema mero

Mero es un sistema hecho de barras y de globos, con el que se puede construir cualquier estructura triagonal. Se llama triagonal el sistema que forma un triángulo con tres barras y tres globos y que puede combinar una serie de triángulos en el espacio tridimensional, de forma que cada barra forme en general parte de dos triángulos. El principio de la construcción triagonal no es una invención del hombre sino un principio estructural básico de la naturaleza, en el sentido más exacto de la palabra.
Una vez han sido descubiertas algunas relaciones estáticas y matemáticas, se han podido aplicar sus principios al campo de la construcción. La idea del sistema Mero es de Max Mengeringhausen, Wurzburg (Alemania), para construcciones aeronáuticas industriales. Más tarde, Karl Otto utilizó el sistema Mero para la construcción de muchos pabellones de la Exposición de Berlín, y desde entonces el sistema Mero es conocido por el gran público.

La ley de la estabilidad de las estructuras espaciales de Foppl dice: si "g" indica el número de globos y "b" el de barras, una estructura espacial se define como estáticamente firme siempre que se resuelva esta ecuación: b 3 x g – 6. En consecuencia, un triángulo con g 3 y b 3 es la forma estable más simple construida con barras y globos o nudos. A su vez el tetraedro con g 4 y b = 6 es la estructura espacial más sencilla, construida con triángulos.
La ley constructiva de estructuras espaciales regulares (sistema triagonal), descubierta por Max Mengeringhausen dice:
– Las estructuras espaciales son perfectas cuando están formadas por triángulos combinados de manera que, puestos juntos, formen octaedros, tetraedros, cubos, o cubos troncados.
– Las longitudes de las caras del octaedro, exteriores al cubo, del tetraedro, interno al cubo, del cubo y del cubo truncado, forman series geométricas de crecimiento natural del factor V2
– Con la longitud de barra de esta serie y con el uso de un tipo universal de núcleo o globo, se pueden formar infinitas derivaciones además de las formas geométricas descritas.
Los antiguos griegos descubrieron el triángulo equilátero y el de ángulo recto, dictaron las reglas del cálculo triangular o trigonometría, y utilizaron poliedros regulares tales como:
el tetraedro de cuatro caras
el hexaedro de seis caras
el octaedro de ocho caras
el dodecaedro de doce caras
el icosaedro de veinte caras
August Foppl, en su teoría de las estructuras espaciales demostró que, de todas las figuras regulares de los antiguos griegos, solamente el tetraedro, el octaedro y el icosaedro son estructuras completamente estables, en tanto que el cubo y el dodecaedro solamente pueden ser estabilizados mediante la división de las caras en triángulos.
external image dos.jpg
El nudo o globo universal Mero, es un poliedro de 18 caras, casi una esfera y cada cara está perforada con una rosca en dirección del centro del globo. Los agujeros roscados están dispuestos de manera que se puedan construir, habilitando barras de dimensiones adecuadas, tanto tetraedros como cubos. Un poliedro de 18 caras puede ser construido por 24 globos Mero y 48 barras de igual longitud. El poliedro será estable y fijo si cada cuadrado tiene una diagonal.
external image tres.jpg
Cúpula parecida a un hemisferio, construida con barras de dos longitudes distintas y con bolas Mero stándar, consistente en cubos y en partes de los mismos. Longitud base de la barra, 2,5 metros; medida máxima interna de la cúpula, 55 metros. Diseño de H. Bauer, Kassel.
external image siete.jpg




Estructura Mero en forma de Tetraedro erigida en Berna durante la construcción de la iglesia de San Mateo; foto hecha antes de fijar el Techo. Diseño de B. Peterhans, W. Frey y A. Egger.
external image ocho.jpg





3.6. triángulos, pirámides y conos en la fruta.
Si observamos el interior de las frutas nos daremos cuenta de que en su mayoría poseen figuras geométricas, sobre todo triángulos en el interior.

external image taronja.jpg El interior de la naranja está dividido en muchos triángulos


3.7.triángulos, pirámides y conos en la fauna
También en los animales podemos observar algunos ejemplos de figuras geomátricas, si bien no son figuras perfectas en todos los casos.

external image 091a.gif Estrella de mar
external image DibujoPteranodonte_01.jpg En las aves, principalmente en sus picos y alas, encontramos muchos triángulos


external image armidilo.jpg Los armadillos están cubiertos por una armadura ósea, escamas en las bandas móviles en forma de triángulos delgados, y escamas en el resto de la armadura que son pequeñas y redondeadas.

external image Conus%20mediterraneus.jpg Caracol marino

external image conos.jpg cono: se encuentran en los ojos y permiten que los animales, humanos y no humanos, vean en la oscuridad.

3.8. triángulos, pirámides y conos en los minerales y rocas
Tanto los minerales como las rocas tienen una composición estructural interna muy definida y basada en figuras geométricas casi perfectas.

external image 090b.gifJOYA TRIANGULAR
La sección transversal de una turmalina semipreciosa de Madagascar, revela la estructura prismática de la piedra, con varios triángulos concéntricos.

external image piramides.jpg Pirámides de cristal de roca


external image img23.gifpirámides de Euseigne

external image IMGP3537.jpg Pirámides creadas por el viento en el desierto de Libia

external image Conos_rocosos_Capadocia.jpg conos rocosos de la Capadocia

external image 2.jpg Conos volcánicos

external image tectitas.jpg cono astilloso

3.9. triángulos, pirámides y conos en la flora
Las flores no podían ser menos, y tenemos en allas muchos ejemplos de triángulos y conos, además de que sigeun en su desarrollo, al igual que la fauna, unas proporciones determinadas: la sucsión de Fibonacci, tratado en otro punto de este trabajo.

external image Purple.jpg pirámides y conos en las plantas

external image 14_green_cones.jpg conos verdes


external image Lupulo.jpg conos de lúpulo
conos; se encuentran en los ojos y permiten que los animales (también los humanos) vean en la oscuridad

external image topiaria-tejo.jpgTejo (Taxus baccata)


3.10- triángulos, pirámides y conos en las armas
Como podemos observar nada es ajenos a la geometría, aquí podemos ver varios ejemplos de armas de guerra que tienen formas geométricas debido a su facilidad para cortar (cuchillos), atravesar cuerpos (flechas y lanzas) y deslizarse con mayor velocidad (los últimos aviones de combate)

external image punalesp.jpgexternal image armasceltasp.jpg armas prehistóricas y algunas más modernas.


external image triangulo%20negro-1.jpg Avión de guerra


3.11.pirámides en las ciencias
Por supuesto la ciencia no podía ser menos y podemos ver que el uso de pirámides para analizar estadísticas y datos, está a la orden del día, y que además, en nuestro propio cuerpo lo que nos identifica como individualidades, es decir, el ADN, tiene una estructura representada en una pirámide.

external image a0789s16.gif pirámides de edad,

pirámides de ADNexternal image adn_tetraedrico.jpg






Inicio
Indice